:::

教育學習

【書籍試閱】《大域微分幾何(中):活動標架法(二版)》

【書籍試閱】《大域微分幾何(中):活動標架法(二版)》

《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間,上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿,以此為基礎,展開中、下両卷,進入大域幾何研究的專業。

  這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」(moving frames)及「幾何變分學」,涵蓋九大篇,共三十章,並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章,以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。

  中卷「活動標架法」先介紹「張量的微積分」,從「平均」的視角出發,導入均曲率、DiverenceLaplacian等相關的幾何概念,刻劃結構方程的意涵。然後藉由微分式(differential form)的運算,發展「活動標架法」,有效處理彎曲空間的大域問題。

本書特色

1.全書以深入淺出的解說方式,藉由直觀,逐步引入艱深的幾何硏究。

2.問題中心論:內容的鋪陳,經常圍繞著自然的提問。

3.採二維計算方式呈現數學式子的推演,使學習者一目瞭然,容易掌握運算過程。

4.適合「微分幾何學」進階研究,及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。

作者簡介

黃武雄

學歷:美國萊斯(Rice)大學數學博士

經歷:國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員

相關著作:幾何專業研究論文之外,著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。

目錄

中卷前言

《大域微分幾何》三卷書二版序

中卷 活動標架法

篇四 張量的微積分

13章 平均的概念

14章 子流形,均曲率與Laplacian

15章 外微分與Divergence定理

篇五 Riemann幾何的結構

16章 結構方程

17章 張量的共變微分

18章 活動標架法的運算基礎

篇六 活動標架法與大域幾何

19章 高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理

20章 Bochner's Technique

21章 Laplacian的特徵值

附錄

全書參考文獻

全書索引

書籍試閱

引言

前言

  中卷的主題是活動標架法。含三篇

  篇四 張量的微積分

  篇五 Riemann幾何的結構

  篇六 活動標架法與大域幾何

  共九章,即Ch.13-21

  微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念,例如向量場的共變微分與曲率張量,並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質,例如對正、負曲率空間,分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

  本書中卷先介紹張量的微積分,我們從平均的視角出發,引入均曲率、divergence、與Laplacian,使這些概念具有幾何的直觀,而不只做抽象的定義。活動標架法(moving frames)是處理彎曲空間簡潔而有效的方法,也是中卷的主題。

  活動標架法的基本概念是微分式(differential form)。在本書上卷前篇的章B中,我們已經鋪陳n中的微分式,並看到它如何被運用、被拿來有效而漂亮的計算出n度球Clifford環面、與Lorentz雙曲面nGauss曲率(高維時稱為截曲率)。這是截曲率為常數,而且分別為正、零與負值的三種典型。

  微分式是一階世界的概念,不屬於零階世界,亦即:在一個點的微分式,必須把那個點附近的無窮小範圍,放大無窮多倍,這時我們才看得到微分式。例如微分式ω在一塊面域D上的積分,如果用這樣的方式了解,便一目瞭然:原來微分式可以從積分符號中剝落出來,成為一個獨立的概念[篇四,參見Ch.15,§7]。把無窮小世界的微分式,在一塊面域D上的無窮多點「累加」,就得到ω在D上的積分值。微分式ω本身,例如:ω=dxdy是一個獨立游走的概念。這涵意是深遠的。

  當然,向量場本身也是一階產物,但因它與零階世界放在一起,直觀上還一目瞭然,所以問題不大。但微分式放到高階世界來了解,相對容易養成直觀,尤其取了外微分之後。

  古典的張量分析(tensor analysis)與向量場的共變微分,是處理彎曲空間的一種直接而廣泛沿用的方法,它們容易懂,但不好算。微分式則反過來,不好懂,但容易算,算起來尤其簡潔有效。而且一旦掌握,更可以用來分析彎曲空間(亦即Riemann流形)的幾何結構[篇五]:從建立結構方程開始,清楚的洞悉Riemann流形的局部性質。這件事在上卷曲面論基本定理[Ch.4, §2]中,討論高維超曲面的存在與唯一的時候,已經鋪陳了伏筆。到中卷篇五,藉由Ch.16子流形的結構方程、Ch.18活動標架法的運算基礎、與commutation formula這三樣重要題材,我們進一步把彎曲空間的局部幾何徹底釐清。從這裡借助invariance,躍入大域世界:1943年陳省身漂亮的運用moving frames,給予高維Gauss-Bonnet定理一個內在證明,開啟了大域幾何的紀元。這是篇六的第19章。

  就這樣,我們走進篇六,討論活動標架法在大域幾何的重要應用。我們引入Bochner著名的的技法,證明幾個經典的大域定理,如LishnerowiczBochnerHopf-AlexandrovMinkowskiReilly等人的貢獻。

  最後一節[Ch.21, §2]我們特別提到Obata定理,其中一個原因是Obata讓我們又細細回顧古典曲面論與測地線變分的技法,把它拿來處理某類Riemann流形MLaplacian特徵值λ1取得最小的狀態(即敲音最低沉時)。證明此時Riemann流形M必定是最勻稱的n度球,這是球面一個深刻的特徵定理。

二版序

《大域微分幾何》三卷書二版序(摘錄)

  1

  這三卷書去年初版。出乎意料的,不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久,我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外,下卷最後一章(即ch.30)的最後一個式子,因論證大意而有漏洞。慚愧之餘,我一直期待再版時,能有機會修正。

  雖然有了這些瑕疵,但出書以來,我收到一些數學家的正面回饋,則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授,透過信件或電話告訴我,他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷,寫下深刻感人的書評,發表在《中華民國數學會電子報》;這份書評的紙本,亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

  另外,感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明,有個gap,並做了補正,其間細微之辨,非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末,增添兩頁附錄,放入他們的補正。

  2

  初版時,我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》(以下簡稱為「小書」)。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家,年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年,多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

  今年初,在新迪出版社友人石飛益的贊助之下,這本小書重新修訂出版。

  目前《大域微分幾何》這三卷書(以下稱為「大書」),可以看成是小書的續集,初版或二版不拘。也就是說,小書是大書的先修本。

  但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書,直接讀大書。兩書一小一大,相輔相成,從大學部的水準,一直深入微分幾何專業研究的領域。

  中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授,原本計劃要在今年87日,為大書舉辦「新書發表會/cmc曲面研討會」;同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

  我在今年初的《數學傳播季刊》中,寫了一篇長文,説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言,放在重新出版的小書中。

  3

  眼前這套大書的再版(即現今這二版),上、中兩卷除了修正幾處typos(校對誤差)之外,幾乎沒什麼更動。下卷亦然,真正大幅更動的是最後一章(ch30)。我把它重新改寫,因為在彌補前述的漏洞時,我們的研究工作又有新的進展。

  這章主題是處理cmc曲面(hypersurface )上domain D(t)的動態變形,考慮其上Jacobi場隨著t,而離散出現的分佈情狀。

  我們引入Morse index定理,來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain,並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域,使其樣態多變。

  但這樣一來,問題便艱鉅得多,而且論證也變得深刻。穿越困難,像走入曲折迂迴的甬道,暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力,我們終於看到曙光,解決了問題,得到完整的結果。

  這章(ch30)的改寫,是二版修訂真正的重點。

立即訂購

五南書店→《大域微分幾何(中):活動標架法(二版)》

a