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【書籍試閱】《大域微分幾何(下):幾何變分學(二版)》

【書籍試閱】《大域微分幾何(下):幾何變分學(二版)》

《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間,上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿,以此為基礎,展開中、下両卷,進入大域幾何研究的專業。

  這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」(moving frames)及「幾何變分學」,涵蓋九大篇,共三十章,並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章,以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。

  下卷「幾何變分學」圍繞著均曲率的幾何,討論二階變分、PlateauBerstein問題、毛細曲面、穩定性與凸性問題、值譜分析、Jacobi場、……等幾何分析學關注的焦點;深入當代大域微分幾何一些關鍵性的研究。

  最後在〈衍篇〉的延伸閱讀中,加入了王藹農教授的〈CMC曲面及其應用〉、王慕道教授的〈從一個方程式談起〉與林俊吉教授〈曲線與幾何分析〉等三篇survey的文章,提供幾何領域正在發展的某些課題。

本書特色

1.全書以深入淺出的解說方式,藉由直觀,逐步引入艱深的幾何硏究。

2.問題中心論:內容的鋪陳,經常圍繞著自然的提問。

3.採二維計算方式呈現數學式子的推演,使學習者一目瞭然,容易掌握運算過程。

4.適合「微分幾何學」進階研究,及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。

作者簡介

黃武雄

學歷:美國萊斯(Rice)大學數學博士

經歷:國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員

相關著作:幾何專業研究論文之外,著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。

目錄

下卷前言

《大域微分幾何》三卷書二版序

下卷 幾何變分法

篇七 均曲率幾何的基礎

22章 流形上的變分

23章 最小曲面的穩定性

篇八 PlateauBernstein問題

24章 Plateau問題

25章 Bernstein問題

26章 PlateauBernstein問題

篇九 均曲率方程

27章 毛細方程與均曲率

28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法

29章 Convexity與大凹陷定理

30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理

衍篇

CMC曲面及其應用(王藹農)

從一個方程式談起(王慕道)

曲線與幾何分析(林俊吉)

附錄

全書參考文獻

全書索引

書籍試閱

下卷的主題是幾何變分學。含三篇

  篇七 均曲率幾何的基礎

  篇八 PlateauBerstein問題

  篇九 均曲率方程

  共九章,即Ch.22-30

  如前所述,微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念,例如向量場的共變微分與曲率張量,並藉由彎曲空間中測地線的變分,來探測彎曲空間大域的幾何性質,例如對正、負曲率空間,分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

  1. 幾何變分學的鋪陳

  二十世紀中期之後,幾何分析(Geometric Analysis)成為幾何學研究的主流。

  它涵蓋甚廣,活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題,主要因為它的提問,自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理(maximum principle)、比較原理(comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibrationSobolev函數、值譜定理、…等,都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。

  幾何變分學中很多經典的idea與貢獻,則為下卷探討的主題,例如:Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。

  在下卷的開始,即篇七Ch.22Ch.23兩章,我們談均曲率的一些基礎概念,但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中,談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出4中的Plateau解;又從二階變分的計算,證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理:n+1中的封閉區面Mn,若均曲率為常數(簡稱cmc = constant mean curvature),而且為穩定(stable),則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem,其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想(Hopf's conjecture)時,分出去的一條軌跡。

  Ch.23也一樣,在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中,我們介紹了Jacobi場,Sobolev空間,並證明一般的值譜定理(spectrum theorem)。然後我們以特徵值的估計,證明了鼓面愈大,聲音愈低沉;而且在鼓面面積相同的情況下,證明:鼓面愈對稱,聲音愈低沉。同時,我們把這些有趣的古典分析,與現今的問題相連結。

  2. PlateauBernstein問題

  Plateau問題與Bernstein問題的交會,是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八,三章(Ch.24-26)集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題,1930年代Jesse Douglas有突破性的進展,他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence,使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章,完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期,細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。

  Plateau問題的起源,是在答覆這樣的問題:給定3中的一條封閉曲線,有沒有以這曲線為邊界,而面積為絕對最小的曲面(稱為Plateau解)?又如果有解,解曲面有否奇點?Bernstein問題則為:在2上全定義的minimal graph(即表成u=u(x), x ∈ℝ2),是否必為平面?Bernstein定理就某種意義來說,可以說是一種非線性的Liouville定理。

  有趣的是,Plateau解曲面有沒有奇點,與Bernstein定理對不對,是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域,去看Plateau的解曲面,我們會看到一個cone(錐面)。相應的,如果我們跑到無限遠處,回頭看Bernstein解曲面,也會看到一個cone

  於是問題轉化成:「在N空間中,除超平面之外,是不是存在minimal cone?」的問題。亦即:是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面(稱之為minimal cone),它不是N-1?若有,則Plateau solution有奇點,Bernstein定理也跟著不對。若沒有,則Plateau solutionregular(沒有奇點),Bernstein定理正確。

  這是兩個問題美麗的交會。

  3. 意大利學派

  藉Ch.25,我們先介紹Bernstein問題的古典背景,亦即在最簡單的2上考慮minimal graph,並用Chern的觀點,把最小曲面的metric改造[Ch.25(12)],將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlightJames Simons對兩問題交會所做的貢獻;然後用活動標架法估計第二基本式,而得到維數不大於6,不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26,我們進入意大利學派Bombieride Giorgi的世界,引入BV函數(functions of bounded variation),延伸Bernstein定理到7維,建構8中非平面的minimal cone S3(1/2) x S3(1/2)$,並給出8維以上著名而深刻的反例。另外,1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式,一方面標誌活動標架法的威力,另一方面開啟幾何分析的研究,把幾何與分析做緊密而漂亮的結合,這工作也放在Ch.26,作為篇八的結束。

  4. 毛細液面

  篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805Thomas Young導出:液面的內外壓力差為均曲率(mean curvature)的常數倍[Ch.27(01)]。同時,Laplace觀察到:液面的均曲率,與液柱的高度成正比[Ch.27(4)]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下,毛細液面的均曲率必為常數,亦即必為cmc(常均曲率曲面)。

  對於Young-Laplace方程[Ch.27(04)(05)兩式]Gauss用虛功原理(virtual work)加以證明,打開變分學的一頁。在Ch.27,我們用現代語言重新詮釋這些,並建立普遍的理論架構,據此深入毛細液面(包含cmc)及相關曲面的探討。

  毛細現象有很多有趣的問題,例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂?根據早先Laplace的計算,以現有導管的粗細,毛細現象最高只能把水分吸到$10$英尺[Ch.27(31)]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是:葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹,冬天葉子都掉光,地裡的水分如何被吸到樹頂?使的樹木存活?Robert Finn給出了答案:因為樹幹中導管的橫截面,實際上不是圓形(如Laplace所假設),而是偏向六角形。秘密就在那些角,當角夠小時,毛細液面會以1⁄r的速率爬升。

  這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。

  當重力越小,管壁對液面分子的吸附力(或排斥力)的影響越大,液面越變化多端。尤其當重力越小時,液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題,見Finn-Korevaar [Ch.27,定理4]Chen-Huang [Ch.27,定理56}]

  又例如一個封閉的容器,裡面除了留有一些空隙之外,幾乎注滿水,把容器拿到太空中,這時空隙會變成什麼樣子?是不是一個球狀?答案是對的(當然也可能是n個球狀)。理由是:這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov1956年證明任何一個安裝(embedded,或譯為鑲映)於n+1中的n維封閉曲面Mn,若均曲率定常(即cmc),則必為球狀[Ch.28,定理2]

  但embedding這個拓樸條件是否必要?例如:假定(cmc的)Mn不限定embed(鑲映),而只知immersed(浸映)於n+1中呢?這就是著名的Hopf猜想(conjecture)。Hopf自己證明了:M2若與球面S2同胚,則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力:例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理,與項武義(Wu-Yi Hsiang)四維空間4中的反例。1983年,Wente終於證明了Hopf猜想不對:在3中存在很多cmc環面的反例。

  篇九前兩章[Ch.27-28],把Hopf's differentialAlexandrov的對稱化方法分別做了介紹,並得出他們的定理。在衍篇中,我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。

  5. cmc的幾何

  篇九的後兩章(Ch.29-30),與本書作者的工作有關,例如:凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。

  1950-1983年間,幾何學家會支持Hopf猜想,其直覺的理由是:cmc封閉曲面$M$似乎不能有凹陷(指Gauss曲率為負的地方)。如果這個直覺是對的,那麼由Hadamard定理,M必然圍出一個convex body,亦即M鑲映於3中,因此根據Alexandrov定理,M必為球形。

  Wente的眾多反例,告訴我們上述的直覺是錯的:M確實有凹陷。Huang-Lin(我與林俊吉)的大凹陷定理,在釐清上述直覺成立的範圍。它說,如果範圍不大,cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說,它若有凹陷,凹陷的範圍必須很大,至少包含一個extremal domain

  任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0,見Ch.29,§2]extremal domain是相當大的面域,例如M中的一塊面域,若為non-parametric(即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時),它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明,也支持早先我對凸性問題的主張:1970-80年代Brascamp-LiebCaffarelli-FriedmanFinnKorevaarChen-HuangShih等人處理的凸性問題,關鍵在於:問題是不是well-posed

  亦即,當我們期望在凸區域(convex domain)上的任何一個橢圓方程解,本身也是convex時,邊界條件不能加在零階(Dirichlet),或一階(capillaryNeumann),而應加在二階[Ch.29,§1]

  另外,在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t,從一個點鄰近的小小範圍連續加大,記成{D(t), 0≤t  

  在篇九Ch.30,亦即,在本書的最後一章,我們把這問題與Morse index定理連結起來,一如在測地線的情況一樣(最簡單的一維測地線,現在變成二維以上的cmc曲面)。本章的主要結果是:介於$D[λk-1=0]與$D[λk=0]之間,必有非零的Jacobi場出現過,而且其重數(multiplicity)可以控制。[Ch.30}Thm.8]

  這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜,因場域不再是一維的測地線,而是高維的曲面,況且是有體積制限(volume constraint)的cmc曲面。勻滑的C-手法,不適合應付這問題。我們必須把C-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間,據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論,看到它生動而成功的解決C-架構中自然的提問,才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作,我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。

  6. 衍篇

  2015年開始寫篇九時,我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行,各寫一篇survey之類的文章,放在書末,稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後,看到幾何研究正在發展的一些新方向。

  不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識,不只搭配得很好,更有畫龍點睛之妙。我畫龍,他們點睛。

  例如:書中各章反覆利用第二變分式,處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中,選擇第二變分式,並點出這式子的神髓:把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理,關連起來。另外,他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色,指出它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文,帶領讀者看到自然深層,看到近年這些重要的工作,存在著某種有趣的連結。

  王藹農所寫的survey,也提供第三隻眼睛,重看近代微分幾何的發展,他把似乎零星的一些結果,串連在一起,包括Herman Weyl經典的embedding定理、NirenbergChernChoi-Wang(崔炯仁-王譪農)、的人的工作。有很多地方,他也扣合著一些與我相關的工作。例如,他用簡練的文字,詮釋大凹陷定理:同時,他把Henry Wente著名的反例,給予幾何的描述,讓人易於了解。這是我書中該做而沒做的事。

  林俊吉所談〈曲線與幾何分析〉,是一個正在開展而處處未知的領域,其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題,並到生化所演講。DNA的性狀,鬆坦或糾結,與它的活性,亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿(elastic rods)正是DNA的原始力學模型。

  林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義,並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點,申論Möbious bands與幾何扭結(geometric knots,即在拓撲扭結上加尺度結構)。這些研究都處在開創階段,充滿活力。林俊吉的survey,從界定問題的困難出發,讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊,非常有趣而深具啟發,值得年輕的研究者投入。

  非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文,替這部書生色不少,也為這部書的讀者,打開多面窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文,讓這本書鋪陳的內容,活了起來。

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